MAKALAH BILANGAN BULAT

MAKALAH BILANGAN BULAT

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Pendidikan Matematika Kelas Rendah

Dosen Pengampu : Fadhilaturrahmi, M.Pd

DISUSUN OLEH :

WAHYUNI NURLINA SARI

1786206131

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

UNIVERSITAS PAHLAWAN TUANKU TAMBUSAI

2018

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karunianya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Penulis makalah ini bertujuan untuk memenuhi salah satu tugas dari dosen mata kuliah Pendidikan Matematika Kelas Rendah.

Makalah ini ditulis berdasarkan berbagai sumber yang berkaitan dengan materi serta informasi dari berbagai media yang berhubungan dengan materi. Tak lupa penulis sampaikan terima kasih kepada pengajar mata kuliah Pendidikan Matematika Kelas Rendah atas bimbingan dan arahan dalam penulisan makalah ini.

Penulis berharap makalah ini dapat menambah wawasan pembaca. Dan penulis berharap bagi pembaca untuk dapat memberikan pandangan dan wawasan agar makalah ini menjadi lebih sempurna.

Bangkinang, April 2018

Kelompok 2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.....................................................................................   i

DAFTAR ISI.....................................................................................................   ii

BAB I PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang..................................................................................   1  

B.     Rumusan Masalah.............................................................................   1

C.     Tujuan...............................................................................................   2

BAB II PEMBAHASAN

A.    Defenisi Bilangan Bulat..........................................................................   3

B.     Pengenalan Bilangan Bulat.....................................................................   3

C.     Sifat-Sifat Bilangan Bulat.......................................................................   5

D.    Penjumlahan Bilangan Bulat...................................................................   6

E.     Pengurangan Bilangan Bulat...................................................................   6

F.      Perkalian Bilangan Bulat.........................................................................   7

G.    Pembagian Bilangan Bulat......................................................................   8

BAB III PENUTUP

A.    Kesimpulan.............................................................................................   9

B.     Saran.......................................................................................................   9

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika disyaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang dipelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah singkat ini dicantumkan uraian singkat tentang bilangan bulat. Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohnya untuk menetukan kedalaman laut, jika kita mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20 m.

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa defenisi bilangan bulat ?

2.      Apa sifat-sifat dari bilangan bulat ?

3.      Bagaimana operasi dari bilangan bulat ?

C.    Tujuan

1.      Untuk mengetahui defenisi bilangan bulat.

2.      Untuk mengetahui sifat-sifat dari bilangan bulat.

3.      Untuk mengetahui operasi dari bilangan bulat.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Defenisi Bilangan Bulat

Sebelum mengajarkan pembelajaran hitung bilangan bulat, langkah pertama adalah mengenalkan apa itu bilangan bulat. Bilangan bulat bagi siswa mungkin masih begitu abstrak. Maka dari itu guru harus menggunakan media konkret dalam pelaksanaan pembelajarannya. Bilangan bulat ini terdiri dari bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif serta nol. Bilangan bulat positif mulai dari : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .....dst. Bilangan Nol 0. Bilangan bulat negatif mulai dari : -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10....dst.

Untuk memudahkan pembelajaran, guru bisa membuatkan sebuah garis bilangan untuk bilangan bulat tersebut. Dalam satu garis tersebut bilangan postif berada di sebelah kanan sedangkan bilangan negatif di sebalah kiri dan ditengah-tengahnya bilangan "0" Selengkapnya bisa anda lihat pada gambar dibawah ini.

B.     Pengenalan Bilangan Bulat

Dalam pembelajaran pengenalan bilangan bulat, guru harus menggunakan benda-benda konkret agar siswa lebih mudah memahaminya sehingga tidak ada kesalah pahaman siswa di dalam menerima materi dari guru. Adapun langkah pembelajaran dalam memperkenalkan bilangan bulat kepada siswa adalah sebagai berikut :

1.      Memulai pembelajaran guru membuka dengan suasana yang akrab dan penuh keceriaan.

2.      Sampaikan tujuan pembelajaran dengan jelas kepada siswa.

3.      Saat akan mengenalkan bilangan bulat, mulailah pada bilangan bulat positif.

4.      Mengenalkan bilangan bulat postif bisa dengan menggunakan benda. Misalnya akan mengenalkan bilangan bulat postif 5, Anda bisa menggunakan dengan 5 buah jeruk. Mengenalkan bilangan bulat positif 10, bisa dengan menggunakan 10 buah jeruk. Demikian seterusnya ketika Anda menyajikan materi pembelajaran bilangan bulan postif.

5.      Setelah siswa mengerti akan arti bilangan bulat postif, selanjutnya ajak mereka untuk menuliskan lambang bilangan bulat.

6.      Selanjutnya mengajarkan siswa pengenalan bilangan bulat negatif. Sama halnya dengan bilangan bulat positif, untuk bilangan bulat negatif, anda bisa menggunakan konsep lawan bilangan. Artinya bila bilangan itu adalah bilangan bulat positif 5 maka lawannya adalah bilangan bulat negatif 5.

7.      Atau anda bisa menggunakan konsep pembelajaran seperti ini : Ambil 5 buah jeruk. Kemudian tanyakan kepada siswa "Berapa buah jeruk yang Bapak bawa? maka siswa akan menjawab 5 buah jeruk.

8.      Kemudian tugaskan salah seorang siswa untuk mengambil 3 buah jeruk, kemudian tanyakan kepada siswa " Berapa buah jeruk yang diambil tadi? maka siswa akan menjawab 3 buah jeruk. Nah selanjutnya guru menuliskan lambang bilangan bahwa 3 buah jeruk yang diambil tadi adalah -3.

Dari kegiatan pembelajaran demikian maka siswa akan memahami bahwa bilangan bulat negatif itu sama seperti sebuah bilangan yang hilang atau tidak ada. Dari kasus pembelajaran tersebut pemahaman siswa akan bilangan bulat negatif menjadi semakin konkret. Pastilah kegiatan tersebut akan sangat menyenangkan bagi siswa.

C.    Sifat-Sifat Bilangan Bulat

Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika. Jika n bilngan bulat, maka -n didefinisikan tunggal sehingga n + (n) = (-n) + n = 0. Himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli sehingga untuk setiap bilangan bulat n berlaku sifat n + (n) = (-n) + n = 0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk daftar sebagai Z =  bilangan bulat jika digambarkan dalam garis bilangan.

Sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat yaitu sebagai berikut :

1.      Sifat Tertutup

Sifat tertutup terhadap  penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z. Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z

2.      Sifat Komutatif

Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a. Sifat komutatif perkalian  yaitu  untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a 

3.      Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c = a+(b+c). Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)

4.      Sifat Distributif

Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat a x (b + c) = (a x b) +(a x c). Sifat distributif kanan perkalian  terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

D.    Penjumlahan Bilangan Bulat

1.      Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat

a.       Sifat Asosiatif  : ( a + b ) + c = a + ( b + c ), contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

b.      Sifat Komutatif : a + b = b + a, contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9

c.       Unsur Identitas terhadap penjumlahan. Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a, contoh : 6 + 0 = 0 + 6

d.      Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a, Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a, a + (-a) = (-a) + a, contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

e.       Bersifat Tertutup, apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b  bilangan bulat maka a + b = c ; c  bilangan bulat. Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9  bilangan bulat.

E.     Pengurangan Bilangan Bulat

1.      Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat

Bilangan bulat a dikurangi bialangan bulat b sama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan bulat, atau dapat ditulis  a - b = a + (-b). Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a - b) menghasilkan

a.       Sembarang bilangan bulat

a – b = a + (-b), contoh 8 – 5 = 8 + (-5) = 3

a – (-b) = a + b, contoh 7 – (-4) = 7 + 4 = 11

Pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Secara lengkap sifat-sifat pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Untuk sifat komutatif dan asosiatif tidak berlaku

a – b ≠ b – a, contoh 7 – 3 ≠ 3 -7

(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ), contoh (9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3)

2.      Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

a – 0 = a dan 0 – a = -a

3.      Bersifat tertutup

Yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat.

Contoh : 7 – 8 = -1 a 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat

F.     Perkalian Bilangan Bulat

1.      Sifat-sifat perkalian bilangan bulat

a.       Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

a x b = ab hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

Contoh : 7 x 6 = 6 x 7 = 42

a x –b = -ab hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.

Contoh : 3 x -4 = -12

 -a x -b = ab à hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan  bulat positif.

Contoh : -4 x -5 = 20

b.      Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)

Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24

c.       Sifat Komutatif : a x b = b x a

Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

d.      Sifat Distributif : a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

e.       Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0

Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x 1 = 1 x a = a

f.       Bersifat Tertutup

Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈bilangan bulat

G.    Pembagian Bilangan Bulat

1.      Sifat-sifat pembagian bilangan bulat

Jika  a, b, dan c bilangan bulat dengan b  0, maka  a ÷ b = c jika dan hanya jika a = b x c. Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b)  merupakan suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

a.       Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif

(+) ÷ (+) = (+)

Contoh : 8 ÷ 2 = 4

b.      Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif

(-) ÷ (-) = (+)

Contoh : -10 : -5 = 2

c.       Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (+) = (-)

Contoh :

6 ÷-2 = -3

-12 ÷ 3 = -4

d.      Hasil bagi bilangan bulat dengan nol (0) adalah tidak terdefenisi

a ÷ 0 tidak terdefinisi (~)

0 ÷ a = 0 (nol)

e.       Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a ÷ b ≠ b : a, contoh 4 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 4 à 2 ≠

(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c), contoh (8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4)

BAB III

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Sifat – sifat pada bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif dan adapula unsur identitas penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,...dst sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,...dst dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.

Himpunan semua bilangan bulat terdiri atas:

1.                          Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : { 1, 2, 3, 4, 5,...}

2.                          Bilangan bulat nol, yaitu 0

3.                          Bilangan bulat negatif, yaitu : {-1, -2, -3, -4, -5, ...}

Operasi bilangan bulat terdiri dari penjumlahan, pengurangan , perkalian dan pembagian. Pengajaran operasi bilangan bulat tersebut dapat dilakukan dengan benda kongkrit, misalnya dengan menggunakan kartu berwarna.

B.     SARAN

Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Hal ini tidak terbatas dari keterbatasan pengetahuan penulis. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini dan semoga makalah ini bermanfaat untuk kita semua.

DAFTAR PUSTAKA

Astuti, B. (2009). Ayo Belajar Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional

Karso, dkk. (1998). Pendidikan Matematika. Jakarta: Depdikbud.UT

Russefendi, E.T. (1991). Pendidikan Matematika III. Jakarta. Depdikbud

Raiz, Abdul. (2015). [Online]. Bilangan Bulat Teori Bilangan Bulat. Tersedia dalam: http://abdulraiz-raish.blogspot.co.id/2015/01/bilangan-bulat-teori-bilangan-bulat.html [diakses 28 April 2018]